Módulo 18 Semana 2 La derivada y su función

Modulo 18 Semana 1 Límites

¿Qué hacer?

1. Revisa y analiza el siguiente video:

“Técnicas para calcular límites” https://youtu.be/ZIh34mB_J0Q

2. Tomando como base los procedimientos mencionados en el video, desarrolla en un documento de procesador de textos, la solución de las siguientes funciones:

 

Nota: En caso de que no se pueda realizar, explica las razones.

Primer límite:

 

Este límite no se puede resolver dado que no hay manera de dividir algún número entre 0, por lo tanto, no hay un método que se pueda hacer para ello.

 

 

Segundo límite:

 

Este límite en apariencia no se puede resolver dado que no se puede dividir 0 entre 0, sin embargo, existe un método de racionalización que puede ayudar a resolver esta ecuación, el cual se aplica de la siguiente manera:

 

Aplicando el valor de “n” que es 9 tenemos la siguiente ecuación:

 

Por consiguiente, podemos ver que el límite es 6.

 

3. En el mismo archivo que elaboraste el procedimiento anterior, tabula y grafica con un rango para el eje x de -8 a 9, cada una de las siguientes funciones:

 

Primer límite:

Segundo límite:

 

Para conocer cómo tabular en Excel puedes apoyarte del siguiente video llamado “Grafica de funciones en Excel” https://youtu.be/oBE4susyH_o

Si necesitas ayuda para realizar la potencia y logaritmos en Excel, te recomendamos el video:

https://www.youtube.com/watch?v=rloRY9Hlikg

4. Incluye los desarrollos de las funciones en el mismo archivo.

5. Incluye un ejemplo de la aplicación de tabulaciones y graficas de este tipo de funciones en la vida cotidiana.

El ejemplo más clásico que podemos tener es este tipo de ecuación donde se utilizan tabulación y graficas seria en un registro de la toma de la presión arterial, dado que se necesitan los datos tomados en diversas horas del día o por varios días y posteriormente realizar una gráfica para facilitar la comprensión de los datos

Módulo 18 Semana 1 Las funciones

Funciones cuadráticas

Las funciones cuadráticas son aplicadas en muchas ciencias. Como la matemática, busca modelar diversos fenómenos naturales recurre a esta expresión general que llamaremos ecuación general de segundo grado.

y=ax²+bx+c

Esta función cuadrática o de segundo grado tiene como representación gráfica una parábola, el lanzamiento de una pelota de básquetbol es una representación gráfica de la ecuación cuadrática.

Modulo 18 Semana 4 Proyecto Intregador En un tiempo...

Modulo 18 Semana 3 Malthus

¿Qué hacer?

1.       Introducción. Lee atentamente para conocer la relación de la aplicación del modelo de Thomas Malthus, economista inglés en 1798, y el uso de la antiderivada.

En esencia, la idea de este modelo matemático de Malthus es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población sin freno de un país crece en forma proporcional y constante P(t), en cualquier momento (t en años). En otras palabras, mientras más personas haya en el momento t, habrá más personas en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar:

Donde el símbolo ∝ (alfa) indica que ambas cantidades son proporcionales y k es esa constante de proporcionalidad. Este modelo no tiene en cuenta otros factores (por ejemplo, inmigración y emigración) que pueden influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, pero predijo con mucha exactitud la población de Estados Unidos desde 1790 hasta 1860. La ecuación diferencial anterior aún se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante cortos intervalos.

Como se mencionó una de las aplicaciones principales de la antiderivada es la solución de ecuaciones diferenciales, si nos planteamos la ecuación anterior P' (t) = kP (t) podemos ponerla en la forma de diferencial, teniendo la ecuación:

dP = kP (t) dt

Para profundizar en el principio de población de Malthus puedes estudiar el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=2nWSW3SA-no

Ahora como la P es la variable dependiente podemos pensarla como solo y = P(t), de esta manera dP = dy y acomodando la ecuación anterior en términos de y nos resulta:

dy = kydt

Tenemos una igualdad entre dos diferenciales, para que cada lado tenga las mismas variables pasamos la y del lado derecho al lado izquierdo:

En este punto la ecuación está en forma de diferenciales y cada uno de los lados de la igualdad está en términos de una sola variable, para obtener las respectivas funciones que tienen esos diferenciales es necesario obtener su antiderivada.

2.       Integra las funciones en cada lado de la igualdad para hallar la solución de la ecuación diferencial, que lleva la ecuación de Malthus, argumentando los pasos de la solución. No olvides que cada función tiene su propia constante de integración:

Función integral:

                                              

Por lo tanto, las integrales de la ecuación diferencial es la siguiente:

Una vez que tengas las respectivas antiderivadas en la identidad despeja la variable y para que sea una función en términos de t, debes recordar las propiedades de las funciones necesarias. Tu proceso debe conducir a esta ecuación que es el modelo de Malthus:

y=Ce^kt

Donde la variable K representa la tasa de crecimiento de la población.

Para despejar la variable Y se debe de aplicar la siguiente propiedad:

                                                                                            

                                                              

Entonces tenemos que:

                                                                  

 

3. Desarrollo. Con la aplicación de la antiderivada del modelo de Malthus, sigue el planteamiento y resuelve lo que se indica:

Desarrollo y solución:

Tenemos que la antiderivada es: y=Ce^kt

                                          

Suponiendo que la población inicial que se está considerando es de 350 individuos determina el valor de C. Si tenemos que k=0.3, y con la ecuación se estima el tamaño de la población dentro de 12 años. Bosqueja una gráfica a mano.

Desarrollo y solución:

                                                                             

Por consiguiente, se estima que dentro de 12 años habría una población de:

12,809 habitantes

 Para su presentación, expón todo el proceso en un archivo de procesador de textos e inserta la imagen de la gráfica.

                                                                        

x	f(x)
0	350
1	472
2	638
3	861
4	1162
5	1569
6	2117
7	2858
8	3858
9	5208
10	7030
11	9489
12	12809

 

Modulo 18 Semana 3 Concentración de CO2 en una función

¿Qué hacer?

1.       Lee con detenimiento la siguiente situación:

El cambio climático es un fenómeno con efectos sobre el clima, está asociado a la intervención humana por la producción y acumulación de gases de efecto invernadero, como el CO₂, en la atmosfera.

El observatorio del volcán Mauna Loa, en Hawái, se dedica al monitoreo de la concentración de CO₂ sobre la superficie de los mares, teniendo un registro desde el año 1980 hasta 2015. Con base en un proceso estadístico, similar al que se revisó en el Módulo 17, fue posible establecer un modelo matemático que aproxima la concentración del CO₂, por año.

A continuación, se muestra una gráfica de los datos obtenidos por este centro de monitoreo¹ del promedio anual de CO₂ sobre la superficie del mar, para más información puedes consultar la página del observatorio directamente.

Para pensar esta función de crecimiento se considera el año 1980 como el inicio de la medición de tiempo, es decir, se toma como t = 0, a partir de este punto comienza a avanzar la variable temporal, por último, se ajustan las escalas para que los ejes tengan el mismo tamaño entre cada valor, esto, porque es la forma más común de trabajarlo, de manera que la gráfica resultante es:

Usando herramientas de Excel se ha generado un ajuste exponencial (en el Módulo 17 de Estadística se trabajaron ajustes lineales), dado por:

Para comprender mejor los elementos de esta función puedes apoyarte del video: https://www.youtube.com/watch?v=zcs6JXHZQtI

f(t)=333.08e^0.005t

La gráfica de este ajuste se presenta en la siguiente figura:

2.       Ahora analiza haciendo uso del modelo exponencial propuesto como la función que define la concentración de CO₂ y aplicando diferenciales. Luego debes aplicar y solucionar lo siguiente:

a)       Aproxima el cambio en la concentración de CO₂ en los mares de 1980 a 1984.

Utiliza la diferencial de una función para encontrar el cambio de o a 4:

 

La actividad no pide la aproximación el cambio de la concentración del CO₂ de 1980 a 1984.

Por lo tanto, en 1980 inicio el crecimiento entonces tenemos que tiempo (t)=0 entonces decimos que x₁=0, y para 1984 trascurrieron 4 año por lo tanto x₂=4  

Tenemos que:

X₁=0

X₂=4

La función que determina el fenómeno de crecimiento es f(x)=333.08e^0.005t

Para determinar la aproximación del cambio del dióxido de carbono de 1980 a 1984 se aplica la siguiente formula:

En donde:

Paso 1. Obtener el diferencial de los años.

Paso 2. Obtener la derivada de la función original con las siguientes formulas:

Paso 3. Aplicamos y desarrollamos la fórmula para calcular la aproximación del Dióxido de Carbono de 1980 a 1984:

En donde el valor de X₁=0, por lo tanto, sustituimos el valor de X=0 en la respuesta encontrada:

Finalmente restamos a este valor encontrado el valor obtenido al inicio:                                                                      

Por lo tanto, la aproximación del crecimiento del Dióxido de Carbono en los 4 años, de 1980 a 1984 fue de:

6.6616ppm

b)      Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica del ajuste exponencial, es decir, a f(x)=333.08e^0.005t, en el punto t=0, y úsala para aproximar la concentración de CO₂ en t = 4.

Para determinar la ecuación de la tangente aplicamos la siguiente formula que representa a una recta cualquiera:

En donde:

m= a la pendiente de una recta, es decir, la derivada de la función.

b= al punto en donde la recta corta al eje de la Y

x= a la función trabajada

Entonces:

Por lo tanto, la ecuación queda de la siguiente manera:

Ahora usamos esta ecuación de la recta tangente para aproximar la concentración de CO₂ en x=4:

c)       Compara tu resultado con lo obtenido en el inciso anterior, respondes ¿qué conclusiones puedes generar al observar estas mediciones?

Al comparar los resultados que se obtuvieron se encuentra que la derivada utilizada para la aproximación del cambio CO₂ es correspondiente al valor de la pendiente de una recta. Por consiguiente, la pendiente una recta es igual a la derivada.

3.      Integra tu desarrollo, con la gráfica, en un documento (de preferencia en procesador de textos) y súbelo a la plataforma con el siguiente nombre: